Mục tiêu của chúng ta là, thông qua quá trình này, kiểm tra sự ổn định của hàm truyền của hệ thống phản hồi đơn vị của chúng ta với độ lợi k, được cho bởi

T ( s ) = k G ( s ) 1 + k G ( s ) {\displaystyle T(s)={\frac {kG(s)}{1+kG(s)}}}

Đó là chúng ta cần phải kiểm tra phương trình trạng thái của hàm truyền trên, cho bởi D ( s ) = 1 + k G ( s ) = 0 {\displaystyle D(s)=1+kG(s)=0}

có các zero nằm bên ngoài mặt phẳng bên trái (thường khởi tallaff OLHP).

Chúng ta giả định là có một đường bao theo chiều kim đồng hồ (nghĩa là theo chiều âm)   Γ s {\displaystyle \Gamma _{s}}  bao quanh mặt phẳng bên phải, với các vết lõm để tránh đi qua các zero hoặc cực của hàm  G ( s ) {\displaystyle G(s)} . Nguyên lý argumentcủa Cauchy phát biểu rằng

− 1 2 π i ∮ Γ s ⁡ D ′ ( s ) D ( s ) d s = N = Z − P {\displaystyle -{{1} \over {2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=N=Z-P}

Trong đó  Z {\displaystyle Z}  là số zero của  D ( s ) {\displaystyle D(s)}  bao quanh bởi đường bao và  P {\displaystyle P}  là số cực của  D ( s ) {\displaystyle D(s)}  bởi cùng đường bao. Sắp xếp lại, ta có Z = N + P {\displaystyle Z=N+P} , nghĩa là

Z = − 1 2 π i ∮ Γ s ⁡ D ′ ( s ) D ( s ) d s + P {\displaystyle Z=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds+P}

Chúng ta cũng cần nhớ lại là  D ( s ) = 1 + k G ( s ) {\displaystyle D(s)=1+kG(s)}  có cùng chính xác các cực của  G ( s ) {\displaystyle G(s)} . Do đó, chúng ta có thể tìm thấy  P {\displaystyle P}  bằng cách đếm các cực của  G ( s ) {\displaystyle G(s)}  mà nằm trong đường bao đó, do đó, nằm trong mặt phẳng hở bên phải (ORHP).

Bây giờ ta sắp xếp lại tích phân ở trên bằng cách gom lại. Cho  u ( s ) = D ( s ) {\displaystyle u(s)=D(s)} , ta có

N = − 1 2 π i ∮ Γ s ⁡ D ′ ( s ) D ( s ) d s = − 1 2 π i ∮ u ( Γ s ) ⁡ 1 u d u {\displaystyle N=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du}

Sau đó ta gom tiếp với  v ( u ) = u − 1 k {\displaystyle v(u)={{u-1} \over {k}}} . Ta có

N = − 1 2 π i ∮ u ( Γ s ) ⁡ 1 u d u = − 1 2 π i ∮ v ( u ( Γ s ) ) ⁡ 1 v + 1 / k d v {\displaystyle N=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{v(u(\Gamma _{s}))}{1 \over {v+1/k}}\,dv}

Cần lưu ý là v ( u ( Γ s ) ) = D ( Γ s ) − 1 k = G ( Γ s ) {\displaystyle v(u(\Gamma _{s}))={{D(\Gamma _{s})-1} \over {k}}=G(\Gamma _{s})}  cho ta ảnh của đường bao dưới  G ( s ) {\displaystyle G(s)} , nghĩa là biểu đồ Nyquist mà ta có. Ta sẽ tối giảm tích phân trên tiếp

N = − 1 2 π i ∮ G ( Γ s ) ) ⁡ 1 v + 1 / k d v {\displaystyle N=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{G(\Gamma _{s}))}{1 \over {v+1/k}}\,dv}

bằng cách áp dụng công thức tích phân Cauchy. Thật ra, ta thấy rằng tích phân trên tương ứngchính xác với số lần biểu đồ Nyquist bao quanh điểm  − 1 / k {\displaystyle -1/k}  theo chiều kim đồng hồ. Do đó, ta có thể kết luật rằng

Z = N + P = (number of times the Nyquist plot encircles -1/k clockwise) + (number of poles of G(s) in ORHP) {\displaystyle Z=N+P={\text{(number of times the Nyquist plot encircles -1/k clockwise)}}+{\text{(number of poles of G(s) in ORHP)}}}

=(số lần biểu đồ Nyquist bao quanh -1/k theo chiều kim đồng hồ)+(số cực của G(s) trong ORHP

Do đó chúng ta thấy rằng  T ( s ) {\displaystyle T(s)}  được định nghĩa ở trên tương ứng với một hệ thống phản hồi đơn vị ổn định, như đã tính toán ở trên, là bằng 0.